什么叫幂矩阵

幂等矩阵

幂等矩阵（idempotent matrix）若a为方阵，且a^2＝a，则a称为幂等矩阵。

幂等矩阵的2个主要性质：

1.其特征值只可能是0，1。

2.可对角化。

如果要加个对称的条件，那么就满足a^t=a

对角的幂等矩阵矩阵就满足这两个条件。

方阵A的k次幂定义为 k 个A连乘:A^k = AA...A (k个)

一些常用的性质有：

1. (A^m)^n = A^mn

2. A^mA^n = A^(m+n)

一般计算的方法有：

1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明

2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A

注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)

3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式公式展开

适用于 B^n 易计算, C的低次幂为零矩阵: C^2 或 C^3 = 0.

4. 用对角化 A=P^-1diagP

A^n = P^-1diag^nP