矩阵合同的充要条件总结

对于你的问题我的解答如下：

必要性如果实对称矩阵A与B合同，由定义存在可逆矩阵C,(C^T)AC=B,令X=CY,代入二次型X^TAX即得Y^TBY，也就是第一个二次型由可逆线性变换X=CY化为第二个二次型，所以他们可以化成相同标准形(可逆线性变换可以复合)，从而有相同的正负惯性指数充分性设两个二次型X^TAX与Y^TBY有相同的正负惯性指数，由于二次型的规范型维一，所以它们有相同的规范型，设规范型的矩阵为H, 则A和B都与H合同，由于合同关系有对称性和传递性，故A与B合同写得比较简单，详细可看教材