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积分变限函数求导推导

发布时间：2025-10-05 | 来源：互联网转载和整理

我们常用的变限函数形式大致都是∫f(t)dt（积分限t（x）到k（x）），当我们给定一个x的时候，由函数的映射关系的出t（x）和k（x）都对应一个值，则∫f(t)dt为一个确定的值。

将积分分为两部分：

∫f(t)dt（积分限t（x）到k（x））=∫f(t)dt（t（x）到a）+∫f(t)dt（a到k（x））。

由导数的定义来求导数，g'(x)=lim[∫f(t)dt-∫f(t)dt]/h（h趋于0，积分限前者为a到x+h，后者为a到x）=lim∫f(t)dt/h（积分限x到x+h，根据的是积分的区间可加性）。

根据积分中值定理，存在ξ属于(x,x+h)，使得∫f(t)dt/h=f(ξ)h，又因为h趋于0时ξ是趋于x的，故极限=limf(ξ)h/h=f(x)，至此证明了g'(x)=f(x)，∫f(t)dt（t（x）到a）同理可证。

最后得出变限函数求导公式

扩展资料：

函数的连续性：

若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

导数推广：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

原函数存在定理：

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。