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怎样使用格林公式

发布时间：2025-10-01 | 来源：互联网转载和整理

当曲线L围成的区域为闭区域时，就可以运用格林公式。

格林公式的值不一定是零，但是当∂P/∂y=∂Q/∂x时，曲线积分的结果与路径无关

那么二重积分的值就是零。

其实三题都是用格林公式，二重积分值都是零。

只是第(2)题的曲线本身能围成闭区域，而第(3)(4)题需要添加直线才能围成闭区域。

第(2)题的曲线是星形线，是个合区域，所以可直接用格林公式。

∮LPdx+Qdy=±∫∫D[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy=0

第(3)题只是一个弧线，不能围成合区域，所以要使用格林公式

要添加线段y=0和x=π/2，所以这三条曲线使区域闭合

并且取正向(逆时针)时，格林公式取+号，负向(顺时针)时，格林公式取-号

然后用格林公式的二重积分结果减掉该两条直线的曲线积分，就得原式的结果。

曲线L：x=(π/2)y²，(x，y)：(0，0)→(π/2，1)，顺时针

添加L1：y=0，dy=0，x：π/2→0，顺时针

添加L2：x=π/2，dx=0，y：1→0，顺时针

∮(L+L1+L2)Pdx+Qdy=-∫∫D[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy=0

∫L1Pdx+Qdy=∫(π/2，0)0dx=0

∫L2Pdx+Qdy=∫(1→0)[1-2y+3(π/2)²y²]dy=-π²/4

既然三个线段围成闭区域，它们的积分也同样道理：

L+L1+L2=闭曲线(L+L1+L2)

∫L+∫L1+∫L2=∮(L+L1+L2)

∫L=∮(L+L1+L2)-∫L1-∫L2

即∫LPdx+Qdy=0-0-(-π²/4)=π²/4

第(4)题跟第(3)题同样原理，1/4个圆弧不足以围成闭区域，于是添加线段y=0和x=1

那么就可以应用格林公式了。

曲线L：y=√(2x-x²)，(x，y)：(0，0)→(1，1)，顺时针

直线L1：y=0，dy=0，x：1→0，顺时针

直线L2：x=1，dx=0，y：1→0，顺时针

∮(L+L1+L2)Pdx+Qdy=-∫∫D[∂Q/∂x-∂P/∂y]dxdy=0

∫L1Pdx+Qdy=∫(1→0)x²dx=-1/3

∫L2Pdx+Qdy=∫(1→0)-(1+sin²y)dy=3/2-(1/4)sin(2)

∫L+∫L1+∫L2=∮(L+L1+L2)

∫L=0-(-1/3)-[3/2-(1/4)sin(2)]=-7/6+(1/4)sin(2)

我这个方法跟你书上那个的道理是一样的。

∫L(顺时针)+∫L1(顺时针)+∫L2(顺时针)=-∮(L+L1+L2)(顺时针)=0

∫L(顺时针)=0-∫L1(顺时针)-∫L2(顺时针)

∫L(顺时针)=∫L1(逆时针)+∫L2(逆时针)

通常都选择用直线跟L绕成闭区域，因为直线的导数能简单求出，容易简化。

另外若被积函数上有奇点，就得绕开奇点部分，挖一个足够小的圆形或椭圆形，然后用格林公式减掉该部分的积分。