保函网

高等数学函数求极限

发布时间：2025-09-24 | 来源：互联网转载和整理

分析：基本题，你的概念太差了，一点书都没看，只是记了一下公式。以下详细解答你的疑惑

答：

1、求极限首要想到用洛必达法则，但是洛必达法则的条件是：必须是∞/∞或者0/0型，而所求极限的形式为：0^无穷大型，显然不能直接求；

2、对于指数式，有一个很简单的变换是：x=e^(lnx)（初中内容，从这里也可以看出，你数学一直不好，基本上从来不看书不理解，只是记公式！）因此：

y=[x^(1/x)-1]^(1/lnx)可以变成：

y=e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}=e^{ln[x^(1/x)-1]/lnx}

=e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}=e^{ln[e^(lnx/x)-1]/lnx}

原极限

=lim(x→+∞)[x^(1/x)-1]^(1/lnx)

=lim(x→+∞)e^ln{[x^(1/x)-1]^(1/lnx)}

=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x)-1]/lnx}

2、

分子→(洛必达)[e^(lnx/x)]·(lnx/x)'/[e^(lnx/x)-1]

=[e^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]/[e^(lnx/x)-1]

分母→(洛必达)1/x

原分式=分子/分母

=[xe^(lnx/x)]·[(1-lnx)/x²]'/[e^(lnx/x)-1]

上式中：根据等价无穷小e^x-1～x，因此：e^(lnx/x)-1～lnx/x

而lim(x→+∞)lnx/x=lim(x→+∞)(1/x)/1=lim(x→+∞)1/x=0

因此：

lim(x→+∞)e^(lnx/x)=e^0=1

原分式

=lim(x→+∞)x·[(1-lnx)/x²]'/(lnx/x)

=lim(x→+∞)(1-lnx)/(lnx)

=lim(x→+∞)(1/lnx)-1

=-1

原式=e^{lim(x→+∞)ln[x^(1/x)-1]/lnx}

=e^(-1)

=1/e