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已知矩阵怎么求行列式

发布时间：2026-03-24 | 来源：互联网转载和整理

一、行列式的定义与性质
行列式是一种数特殊的矩阵表示，是由若干n阶方阵的$n^2$ 个元素组成的形式，它具有以下特点：① 对于给定的n阶行列式来说，任何一行（列）内元素均不相等；② 每一行（列）元素可以互换，行列式的值不变；③ 行列式可以由其元素进行求导，并可以求证一些行列式性质。
二、已知矩阵求行列式
例如，给定矩阵：
$$A =
\left[\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$
则此矩阵的行列式可以由以下公式求解：
$$
\begin{aligned}
&\left|A\right|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}\\
&\quad-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}
\end{aligned}
$$
三、行列式的运算基本规则
1、对行列式进行行变换，需要把改变的每一行乘以等式右边的常数，再把变换后的结果带进行列式，行列式的值乘以这个常数，也就是说：行变换乘k时，行列式A乘以k，即$|A'|=|A| \cdot k$
2、行变换也可以用来消去某一行（列）上的元素，此时，行列式的值也会改变：行列式A用行变换消去一行（列）时，所得行列式值由原来的A变为$|A'|=|A|/(变换前改行（列）的一个元素的绝对值)$ 。
由以上基本规则可以发现，行列式的值有行变换而得，所以可以利用行变换来求解给定矩阵的行列式，把行变换过程分解成一步一步的来操作，每一步乘以一个常数，再把最后变换得到的新行列式的值计算出来，就是矩阵的行列式的值。