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反函数存在的条件

发布时间：2026-03-23 | 来源：互联网转载和整理

如果函数y=f（x）是定义域D上的单调函数，那么f（x）一定有反函数存在，且反函数一定是单调的。反函数存在定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

扩展资料：

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f（x）的定义域为D，值域为f（D）。如果对D中任意两点x1和x2，当x1u003cx2时，有y1u003cy2，则称y=f（x）在D上严格单调递增；当x1u003cx2时，有y1u003ey2，则称y=f（x）在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f（D），有x∈D使f（x）=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'u003cx，都有y'u003cy；任一x''u003ex，都有y''u003ey。总之能使f（x）=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f（D）中的两点y1和y2，设y1u003cy2。而因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1（y1），x2=f-1（y2），且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1u003cy2矛盾。

因此x1u003cx2，即当y1u003cy2时，有f-1（y1）u003cf-1（y2）。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。