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韩信点兵数学公式

发布时间：2026-03-23 | 来源：互联网转载和整理

在数学上，如果a和b除以正整数m后的余数相同，则称a、b对于模m同余，韩信点兵用数学公式来表示就是（X是未知的人数）：

X ≡ 2 (mod 3)

X ≡ 3 (mod 5)

X ≡ 2 (mod 7)

为了简化问题，我们先只考虑前两个同余条件，满足除以3余2、除以5余3的整数分别为：

2、5、8、11、14、17、20、23、26……

3、8、13、18、23、28、33、38……

可以看出，同时符合这两个条件的靠前个数是8，第二个数是23。后面的每个解与前一个之差都应该是3和5的最小公倍数15，即：

X = 8 + 15K （K是整数）

这样我们就把寻找的整数解缩小了，接着再加入第三个条件，找到分别满足X=8+15K和除以7余2的数：

8、23、38、53、68、83、98、113、128……

2、9、16、23、30、37、44、51……

满足条件的靠前个数是23，第二个数是128。后面的每个解与前一个之差都应该是3、5、7的最小公倍数105。

这样寻找解的过程显然太繁琐。后来，明朝数学家程大位把求解方法编成了一首诗：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。

七子团圆正半月，除百零五便得知。

意思是：

将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后再减去105或者105的整数倍，得到的数就是答案。

70 × 2 + 21 × 3 + 15 × 2 = 233 - 2 × 105 = 23

其他的解只能和23相差105的整数倍，韩信应该是估计出军队大致人数，取了105×10+23=1073这个解。

韩信点兵的计算公式是：n=2×70+3×21+2x15-105k。

这个公式的含义是：假设一个数为X，则1000<X<1100（战死四五百），并且X满足以下等式：X%3=2，X%5=4，X%7=6，让求X。其中2×70表示2个70的倍数，3×21表示3个21的倍数，2×15表示2个15的倍数，-105k表示减去105的倍数，k为剩余士兵数量。