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特征多项式展开公式

发布时间：2026-03-20 | 来源：互联网转载和整理

特征多项式是一个矩阵的重要特征，它可以用来求解矩阵的特征值。特征多项式展开公式是一个用来计算特征多项式的公式。下面将详细讲解特征多项式展开公式的定义及其应用。
定义
设$A$为一个$n$阶矩阵，$I$为$n$阶单位矩阵，$λ$为任意一个数，则$λI?A$为矩阵$λI$与矩阵$A$的差。由此，我们可以得到下面的公式：
$$
det(λI?A) =
\\begin{vmatrix}
λ-a_{11} & -a_{12} & \\cdots & -a_{1n} \\\\
-a_{21} & λ-a_{22} & \\cdots & -a_{2n} \\\\
\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\
-a_{n1} & -a_{n2} & \\cdots & λ-a_{nn} \\\\
\\end{vmatrix}
$$
上式中，$a_{ij}$为矩阵$A$的元素，$det$表示矩阵的行列式。
应用
特征多项式展开公式可以用来求矩阵$A$的特征多项式。特征多项式是一个$n$次多项式，它的根就是矩阵$A$的特征值。通过计算特征多项式，我们可以得到矩阵的全部特征值。
假设矩阵$A$的特征多项式为$p(λ)$，则$p(λ)$的展开式为：
$$
p(λ) = (-1)^n \\lambda^n + c_{n-1} \\lambda^{n-1} + c_{n-2} \\lambda^{n-2} + \\cdots + c_1 \\lambda + c_0
$$
其中，$c_{n-1},c_{n-2},\\cdots,c_1,c_0$为常数。我们可以通过特征多项式展开公式，依次计算每个$c_i$的值，从而得到矩阵$A$的特征值。
总结
特征多项式展开公式是求解矩阵特征值的重要公式，它通过计算矩阵与单位矩阵的差的行列式，得到了矩阵的特征多项式。通过特征多项式展开公式，我们可以计算出矩阵的全部特征值，为矩阵的运算和分析提供了重要的数学工具。