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二阶导数求导公式

发布时间：2026-03-20 | 来源：互联网转载和整理

二阶导数，又称第二偏导数，是指求函数的第二次导数的操作过程，其公式为：
$\frac{d^{2}f(x)}{dx^2}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^2}$
也可以表示为：
$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dt}}\frac{d^2x}{dt^2}$
或者：
$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dx^2}+f'(x)\frac{d^2x}{dx^2}$
以上三种公式都可以有照下面的步骤来计算求解函数的二阶导数：
1. 首先，把函数改写为x关于t的函数。
2. 然后，利用链式法则求出y对于x的导数$\frac{dy}{dx}$及x对于t的导数$\frac{dx}{dt}$。
3. 由此，即可得到y关于x的二阶导数$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dt}}\frac{d^2x}{dt^2}$。4
4. 最后，利用$f'(x)=\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial x}f'(x)$可计算出函数关于x的二阶导数：$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dx^2}+f'(x)\frac{d^2x}{dx^2}$。
因此，函数的二阶导数的求解公式有三种，分别为前面的三种公式：
$\frac{d^{2}f(x)}{dx^2}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-2f(x)+f(x-\Delta x)}{(\Delta x)^2}$
$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dt}}\frac{d^2x}{dt^2}$
$\frac{d^{2}y}{dx^2}=\frac{d^2y}{dx^2}+f'(x)\frac{d^2x}{dx^2}$