错位相减法求和典型例题10道（错位相减法求和典型例题）
发布时间：2026-03-20 | 来源：互联网转载和整理
1、错位相减法 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
2、 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。
3、 例如，求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0） 当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2； 当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)； ∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n； 两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n； 化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2 Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n 错位相减法是求和的一种解题方法。
4、在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。
5、这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）： S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1） 在（1）的左右两边同时乘上a。
6、 得到等式（2）如下： aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2） 用（1）—（2），得到等式（3）如下： （1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3） （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
7、 （1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1 最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
8、 例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+…….+(2n-1)乘以x的n-1次方（x不等于0） 解：当x=1时，Sn=1+3+5+….+(2n－1)＝n平方 当x不等于1时，Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+…….+(2n-1)乘以x的n-1次方 所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方…….+(2n-1)乘以x的n次方 所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x平方＋x三次方＋。
9、+x的n-2次方)－（2n-1）乘以x的n次方。
10、 化简得：Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 －（2n+1）乘以x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方 Cn=(2n+1)*2^n Sn=3*2+5*4+7*8+.+(2n+1)*2^n 2Sn= 3*4+5*8+7*16+.+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1) 两式相减得 -Sn=6+2*4+2*8+2*16+.+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+.+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2 所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2 错位相减法 这个在求等比数列求和公式时就用了 Sn= 1/2+1/4+1/8+.+1/2^n 两边同时乘以1/2 1/2Sn= 1/4+1/8+.+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些） 两式相减 1/2Sn=1/2-1/2^(n+1) Sn=1-1/2^n。