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二次偏导公式顺序

发布时间：2025-12-02 | 来源：互联网转载和整理

二阶偏导数就是对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx因为对多元函数的某一自变量求偏导时，“假定”其它变量为“常数”。

换句话说对变量求偏导的先后次序，并不影响最终的求偏导结果。不失一般性设z=f(x²y,xy²)具有二阶连续偏导数，我们来证明∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x。设u=x²y，v=xy²，则 ∂u/∂x=2xy，∂u/∂y=x²；∂v/∂x=y²，∂v/∂y=2xy。故有∂z/∂x=(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)=2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)∂²z/∂x∂y=∂(∂z/∂x)/∂y=∂[2xy(∂f/∂u)+y²(∂f/∂v)]/∂y=2x(∂f/∂u)+2xy(∂²f/∂u²)(∂u/∂y)+2y(∂f/∂v)+y²(∂²f/∂v²)(∂v/∂y)=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)∂z/∂y=(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)=x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)∂²z/∂y∂x=∂(∂z/∂y)/∂x=∂[x²(∂f/∂u)+2xy(∂f/∂v)]/∂x=2x(∂f/∂u)+x²(∂²f/∂u²)(∂u/∂x)+2y(∂f/∂v)+2xy(∂²f/∂v²)(∂v/∂x)=2x(∂f/∂u)+2x³y(∂²f/∂u²)+2y(∂f/∂v)+2xy³(∂²f/∂v²)=∂²z/∂x∂y显然，∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x，所以求二阶偏导时，与自变量的先后次序无关。