保函网

罗尔定理是什么

发布时间：2025-11-12 | 来源：互联网转载和整理

罗尔定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。几何意义为若连续曲线y=f(x) 在区间 [a,b] 上所对应的弧段 AB，除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且在弧的两个端点 A,B 处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

罗尔定理描述如下：如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个(a,b)，使得 f'()=0。

证明过程为：证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>

m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点处取得，从而是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'()=0。另证：若 M>

m ，不妨设f()=M，(a,b)，由可导条件知，f'(+)