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留数求法

发布时间：2025-11-05 | 来源：互联网转载和整理

留数的求法

除了通过洛朗级数的定义求留数，还可以利用以下方法：

设有函数的m阶极点z_0，则极点附近有洛朗级数

%20f(z%20)%3D%5Csum_%7Bk%3D-m%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5Ek%20

即(z-z_0)%5Em%20f(z)%3D%5Csum_%7Bk%3D-m%7D%5E%5Cinfty%20a_k(z-z_0)%5E%7Bk%2Bm%7D%20%5C%5C%0A%3Da_%7B-m%7D%2Ba_%7B-m%2B1%7D(z-z_0)%2B...%2Ba_%7B-1%7D(z-z_0)%5E%7Bm-1%7D%2B...

令

g(z)%3D%5Cleft%5C%7B%20%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A(z-z_0)%5Em%20f(z)%2C%5C%3Bz%5Cneq%20z_0%5C%5C%0Aa_%7B-m%7D%2C%5C%3Bz%3Dz_0%0A%5Cend%7Barray%7D%20%20%5Cright.

则上式右边是g(z)的泰勒级数，显然有

a_%7B-1%7D%3D%5Cfrac1%7B(m-1)!%7D%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%5E%7Bm-1%7D%7D%7B%5Cmathrm%20dz%5E%7Bm-1%7D%7D%5Bf(z)(z-z_0)%5Em%5D

所以如果可以找到m使%5Clim_%7Bz%5Crightarrow%20z_0%7D(z-z_0)%5Emf(z)%3DC%5Cneq0，则可以确定z_0是m阶极点，并可以根据上式求得留数。特别地对于单极点，

a_%7B-1%7D%3D%5Clim_%7Bz%5Crightarrow%20z_0%7D(z-z_0)f(z)