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向量平行公式和垂直公式

发布时间：2025-08-21 | 来源：互联网转载和整理

向量平行公式：向量a=（x1,y1），向量b=（x2,y2）

x1y2-x2y1=0

a⊥b的充要条件是a·b=0，即（x1x2+y1y2）=0

向量垂直公式：向量a=（a1,a2），向量b=（b1,b2）

a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb（λ是一个常数）

a垂直b：a1b1+a2b2=0

向量平行的坐标公式

两个向量a,b平行：a=λb（b不是零向量）；两个向量垂直：数量积为0,即ab=0。

坐标表示：a=（x1,y1），b=（x2,y2）

a//b当且仅当x1y2-x2y1=0

a⊥b当且仅当x1x2+y1y2=0

在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得：a=xi+yj，我们把（x,y）叫做向量a的（直角）坐标，记作：a=（x,y）。

其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。

向量垂直公式证明

1、几何角度：向量A（x1,y1），长度L1=√（x12+y12）

向量B（x2,y2），长度L2=√（x22+y22）

（x1,y1）到（x2,y2）的距离：D=√[（x1-x2）2+（y1-y2）2]

两个向量垂直，根据勾股定理：L12+L22=D2

∴（x12+y12）+（x22+y22）=（x1-x2）2+（y1-y2）2

∴x12+y12+x22+y22=x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22

∴0=-2x1x2-2y1y2

∴x1x2+y1y2=0

2、扩展到三维角度：x1x2+y1y2+z1z2=0,那么向量（x1,y1,z1）和（x2,y2,z2）垂直

综述，对任意维度的两个向量L1,L2垂直的充分必要条件是：L1×L2=0成立。

向量的四种运算

四种运算：向量的加法、向量的减法、数乘向量和向量的数量积。前三种运算结果仍为向量，向量的数量积为实数。

向量的加法、减法和数乘向量的坐标运算就是坐标相加、减和数乘；向量的数量积的代数运算是两向量的模与其夹角的余弦之积，坐标运算是两向量的横坐标之积与纵坐标之积的和。

向量的数量积的代数运算应用较多，常见题型有求向量多项式的乘积及有关求模的问题。此类题在高考中反复考查。务必熟练掌握。

向量的表达方式

1、代数表示

一般印刷用黑体的小写英文字母（a、b、c等）来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头（→）表示，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头（→）等表示。

2、几何表示

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的记法

印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示。

向量的种类

零向量：长度为0的向量。

单位向量：长度为1个单位长度的向量。

平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量。

相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相反向量：长度相等且方向相反的向量。

平行向量：又称共线向量，是指方向相同或相反的非零向量。零向量和任何向量平行。